*** Détection d'une maladie chez les lapins

D'après bac, métropole, 2022.

Dans une région française, \(70\; \%\) des lapins sont touchés par une maladie appelée myxomatose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un
lapin, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :

• si le lapin est malade, le test est positif dans \(97\; \%\) des cas ;
  
• si le lapin n’est pas malade, le test est négatif dans \(95\; \%\) des cas.
  

Partie A

1. Justifier que le pourcentage de lapins qui sont touchés par la maladie et qui auraient un test positif est de \(67{,}9\; \%\).
2. Calculer le pourcentage de lapins qui ne sont pas touchés par la maladie et qui auraient un test négatif.
3. Compléter le tableau des fréquences ci-dessous qui permet de modéliser la situation.

3. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le lapin soit effectivement malade sachant que son test est positif. En assimilant fréquence et probabilité, donner la valeur prédictive positive du test. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à \(10^{-2}\) près.
4. Par analogie avec la question précédente, on définit la « valeur prédictive négative du test », la probabilité que le lapin ne soit pas malade sachant que son test est négatif. En assimilant fréquence et probabilité, donner la valeur prédictive négative du test. On donnera le résultat en pourcentage arrondi à \(10^{-2}\) près.

Partie B

Pour la suite, on considère que la probabilité qu’un lapin capturé au hasard présente un test positif est de \(0{,}694\).

Des vétérinaires capturent \(5\) lapins au hasard et leur font subir des tests pour la myxomatose.
La population de lapins est suffisamment grande pour que la capture de \(5\) lapins au hasard soit assimilée à un tirage avec remise.
On note \(X\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de \(5\) lapins capturés au hasard, associe le nombre de lapins ayant un test positif.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par \(X\) ? Justifier et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans un échantillon de \(5\) lapins capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
3. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre lapins sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.